硬保底机制下抽卡的概率分布与期望（以蔚蓝档案、BanG Dream！为例）

本文以手机游戏《蔚蓝档案》、《BanG Dream！》等中的硬保底机制为例，简单介绍了基于EXCEL的硬保底机制下抽卡结果的概率分布和期望的计算方法，并给出了200抽后硬保底、UP率0.7%条件下单UP池、井票互通双卡池、双UP池中抽卡结果的概率分布和期望：抽出1张UP卡的期望抽数约为111.24，在合计抽数硬保底的两个卡池中抽出2张UP卡的期望抽数约为197.13，在双UP池中抽出2张UP卡的期望抽数约为157.60。本文中的数据和计算方法可以为硬保底机制游戏的玩家提供规划抽卡的重要依据。

第一章 引言

游戏中的抽卡，在笔者所知范围内，大致分为硬保底、软保底、BOX、无保底4种机制。其中，硬保底和无保底类似独立重复实验，但硬保底机制下，实验次数达到一定值后，在最后一次实验中或结束后获得1次预期的结果；软保底机制下，每次实验中预期结果出现的概率会随着实验次数增加以某种形式上升；BOX机制按照定义可以归为软保底的一种，但该模型最为现实且历史最悠久，如字面意思，从有限的盒子中随机取出一个结果而不放回，取完为止。

笔者自8月3日开始游玩《蔚蓝档案》，感到抽卡规划压力巨大，因此尝试对其中硬保底机制下的期望抽数进行计算，完成后群友建议我发布此内容；笔者进行了简单的搜索，发现虽然计算方法简单，但网络上关于硬保底概率分布与期望的计算和现成数据较少，因此笔者亦认为此内容有一定分享价值，遂撰写本文。

第二章 单UP池的概率分布与期望

单UP单卡池，指在1个200抽硬保底的卡池中，以抽出UP率0.7%的1张卡为目标进行抽取，为硬保底机制下最简单的模型。触发硬保底、使用井票兑换目标卡前的最多200抽为普通的独立重复实验：0.007与0.993的二项分布，显然n抽不出的概率为P=0.993^n。

为减少数据量及更符合大多数玩家的抽卡模式，本文将单次抽数改为10抽进行计算，（未）出率表示共n抽后未/已出目标卡的概率，恰出率表示共n抽后恰好仅在最近1次10连抽中抽出目标卡、可以停止抽卡的概率，连续相同的200/400抽表示使用井票兑换目标卡前后的情况，所有抽数与其恰出率之积的总和即为抽数的期望。

每10抽不出的概率为0.993^10≈0.9322，相对地能在这10抽中抽出的概率则约为0.0678，单UP池中抽卡结果的概率分布与期望如表2-1、图2-1、图2-2所示。

第三章 井票互通双卡池的概率分布与期望

《蔚蓝档案》大多数卡池中2张目标卡分别在同时开放的2个卡池中UP，不过2张卡都获得的期望抽数却并非2次单UP单卡池抽卡实验的2倍，因为在其中1个卡池中在200抽内抽出目标卡后，抽数可以在第2个卡池中被使用而更早地触发保底机制。

该模型下，200抽及以前抽第1张卡的情况的概率分布与上一章中相同，为每10抽约0.9322、0.0678的概率抽出和抽不出，而顺利抽出第1张卡后的情况会在第2个池子中继续陷入二项分流：没有抽出、继续抽取，和成功抽出、结束抽取；200抽后的情况，触发保底机制：仅抽出1张卡的所有情况此时转变为2张卡都抽出的情况、结束抽取，都没出的情况此时转变为仅抽出1张卡的情况并进入第2个池子、在触发400抽后的保底机制前继续着二项分流。

井票互通双卡池中抽卡结果的概率分布与期望如表3-1、图3-1、图3-2所示。

第四章 双UP池的概率分布与期望

《BanG Dream！》中自开服早期后所有卡池都是双UP单卡池，而该种卡池在《蔚蓝档案》中极其少见，显然该模型下2张卡都获得的期望抽数更少，但该模型更复杂。该模型下与前文的两种不同之处在于从0.007与0.993的二项分布及其复合形式变为0.007、0.007与0.986三项分布，计算量飙升，计算较小单位抽数情况下的概率分布来减少后续的计算量也变得困难，如：抽4次，2张卡都没出的概率为0.986^4，而2张卡恰好只出了其中1张的概率则为[C(1,4)*0.007*0.986^3+C(2,4)*0.007^2*0.986^2+C(3,4)*0.007^3*0.986+C(4,4)*0.007^4]*2（若2张卡分别为A、B，则只出了A、只出了B的概率分别为该概率的一半），最后2张卡都抽出来了的概率由于是三项分布式而极其复杂，可用1减去前面两种情况的概率得到；于是用同样的方法可以算出抽10次3种情况发生的概率分别约为0.8685、0.1273和0.0042。

因此，每经过10抽，3种情况间会发生比上一章更大幅度的转化：都没出的情况每次都会有约0.1273的概率变为仅出了其中1张的情况，有约0.0042的概率直接变为2张都抽出了的情况，有约0.8685的概率不变化；而仅出了其中1张的情况则进行着约0.1273/2+0.0042的概率变为2张都抽出了的情况、约0.1273/2+0.8685的概率不变化的二项分流。直到达到200抽后，触发保底机制：仅仅出了其中1张的所有情况此时转变为2张卡都抽出的情况、结束抽取，都没出的情况此时转变为仅抽出1张卡的情况并继续抽取、在触发400抽后的保底机制前进行二项分流。

双UP池中抽卡结果的概率分布与期望如表4-1、图4-1、图4-2所示。

第五章 小结与展望

没什么想总结的，对文中内容如有疑惑可提出或斧正。

最后提一下，抽数的期望总归是平均值，少量卡池中的抽数未必与期望值足够接近，仅在做包含至少两位数个卡池的抽卡计划时才能发挥足够的参考价值。

参考文献

[1]某人, 某人, 某人, 等. 某本高中数学课本[M]. 某地: 某出版社, 某年: 某页-某页.